Isométries vectorielles

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Présentation du document :

Cours de mathématiques de niveau prépa, année 2009, sur l'isométries vectorielles.

Description du document :

Cours de mathématiques bien présentés de prépa année 2009 sur l'isométries vectorielles.

Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique.
Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices.

[u]Extrait[/u]:

Les précédentes leçons d’Algèbre Linéaire nous ont déjà habitué à une certaine généralisation
de la Géométrie. Il y a en effet été question de droites et plans, de projections et symétries,
dans des espaces non conventionnels où les vecteurs pouvaient être des objets aussi divers que
des polynômes, des matrices, des suites finies ou infinies.

...

Exemple d'un exercice :
E est un espace Euclidien rapporté à une base orthonormée directe B =(u, v, w)
Déterminer les matrices dans B des transformations orthogonales suivantes :
a) Symétrie orthogonale par rapport au plan P d’équation x+2y+3z=0 dans B .
b) Rotation d’axe orienté par u+v et d’angle 3p.
c) Symétrie orthogonale par rapport à la droite dirigée par u+v+w.

Sommaire du document :

[b]I) Définition et caractérisations[/b]

A) Introduction

B) Caractérisations diverses des isométries

[b]II) Le groupe orthogonal[/b]

A) Définitions fondamentales

B) Génération du groupe orthogonal
1) Considérons d’abord le cas où u admet au moins un vecteur invariant non nul a
2) Supposons maintenant que u n’admette aucun vecteur invariant non nul

[b]III) Isométries d'un espace de dimension au plus 3[/b]

A) Isométries d’une droite

B) Isométries d’un plan vectoriel
1) Si dim(I( u ))=2
2) Si dim(I( u ))=1
3) Si dim(I( u ))=0

C) Isométries d’un espace Euclidien de dimension 3
1) Si dim(I( u ))=3
2) Si dim(I( u ))=2
3) Si dim(I( u ))=1
4) Si dim(I( u ))=0

Exercices sur les isométries vectorielles.
Solutions des exercices sur les Isométries.