Les Limites

Il s'agit d'un cours de mathématiques sur les limites de niveau prépa de l'année 2009. Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices. Extrait: Le cadre d’étude de ce chapitre est celui des fonctions à valeurs réelles, définies sur une partie quelconque de R. En ne se bornant pas aux seules fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles on englobe donc les suites numériques réelles , fonctions particulières définies sur un ensemble discret, le plus souvent N ou une section de N. Plus tard nous étendrons la théorie aux suites et fonctions à valeurs complexes.

I) Généralités

A) Introduction

B) Notions de base et définitions élémentaires
1) Compactifié de R
2) Voisinages fondamentaux
3) Point adhérent
4) Limite d’une fonction numérique en un point a
5) Unicité de la limite
6) Variantes de la définition générale

C) Transformations pratiques fondamentales

D) Limite d’une restriction

II) Techniques usuelles de calcul des limites

A) Règles opératoires
1) Cas d’une somme de deux fonctions de limite réelle
2) Somme d’une fonction f de limite réelle l avec une fonction g tendant vers + ¥
3) Produit de deux fonctions de limites réelles
4) Inverse d’une fonction f de limite réelle l non nulle

B) Théorème de composition

C) Limites des fonctions usuelles
1) Polynômes et fractions rationnelles
2) Racines n-ièmes
3) Fonctions trigonométriques
4) Fonctions logarithme, exponentielle et puissances généralisées

D) Résultats liés à la relation d’ordre sur R
1) Théorème d’encadrement
2) Théorèmes de limite monotone

III) Théorie des équivalents

A) Négligeabilité
1) Définition et notation
2) Premières remarques
3) Règles pratiques de simplification

B) Équivalence
1) Définition et notation
2) Rapports avec la négligeabilité
3) Règles usuelles d’emploi
4) Pièges à éviter
5) Changements de variable
6) Fonctions équivalentes et fonctions de limites égales en un point

C) Domination
1) Définition et notation

Exercices sur les limites.
Solutions des exercices.