La dérivation

Cours de mathématiques bien présentés de prépa année 2009 sur la dérivation. Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices. Extrait Supposons f dérivable en a. On vient de voir que la fonction affine tangente t définie ci dessus est une assez bonne approche de la fonction f au voisinage de a, au sens que l’écart entre f(x) et t(x) est négligeable devant l’écart x-a. Nous allons montrer que t est en fait la meilleure approximation affine locale de f en a au sens que pour toute fonction affine h, l’écart f (x) - t(x) sera localement inférieur à f (x) - h(x) et que cette propriété est caractéristique de la dérivabilité en a.

I) Généralités

A) Définitions
1) Nombre dérivé
2) Approximation affine locale
3) La tangente, meilleure approximation affine locale de la courbe

B) Dérivabilité et continuité
1) Prenons pour f la fonction valeur absolue
2) Soit f la fonction racine carrée
3) Considérons la fonction f définie sur R par :f(x)=xsin(1/x) si x=/0 et f(0)=0.

C) Fonction dérivée, dérivées successives

II) Téchniques de dérivation[b/]

A) Règles Opératoires

B) Dérivation de composées et de réciproques

C) Dérivées des fonctions usuelles
1) Fonction Logarithme Népérien
2) Fonction exponentielle
3) Fonctions puissances
4) Fonction sinus
5) Fonction cosinus
6) Fonction tangente

III) Application de la dérivation

A) Théorème de Rolle

B) Théorème des accroissements finis

C) Dérivation d’un prolongement par continuité

D) Signe de la dérivée et sens de variations

E) Comparaisons par ‘intégration’

F) Approximation locale par un polynôme de Taylor

Exercices sur la dérivation.
Solutions des exercices sur la dérivation.