Isométries vectorielles

Cours de mathématiques bien présentés de prépa année 2009 sur l'isométries vectorielles. Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices. Extrait: Les précédentes leçons d’Algèbre Linéaire nous ont déjà habitué à une certaine généralisation de la Géométrie. Il y a en effet été question de droites et plans, de projections et symétries, dans des espaces non conventionnels où les vecteurs pouvaient être des objets aussi divers que des polynômes, des matrices, des suites finies ou infinies. ... Exemple d'un exercice : E est un espace Euclidien rapporté à une base orthonormée directe B =(u, v, w) Déterminer les matrices dans B des transformations orthogonales suivantes : a) Symétrie orthogonale par rapport au plan P d’équation x+2y+3z=0 dans B . b) Rotation d’axe orienté par u+v et d’angle 3p. c) Symétrie orthogonale par rapport à la droite dirigée par u+v+w.

I) Définition et caractérisations

A) Introduction

B) Caractérisations diverses des isométries

II) Le groupe orthogonal

A) Définitions fondamentales

B) Génération du groupe orthogonal
1) Considérons d’abord le cas où u admet au moins un vecteur invariant non nul a
2) Supposons maintenant que u n’admette aucun vecteur invariant non nul

III) Isométries d'un espace de dimension au plus 3

A) Isométries d’une droite

B) Isométries d’un plan vectoriel
1) Si dim(I( u ))=2
2) Si dim(I( u ))=1
3) Si dim(I( u ))=0

C) Isométries d’un espace Euclidien de dimension 3
1) Si dim(I( u ))=3
2) Si dim(I( u ))=2
3) Si dim(I( u ))=1
4) Si dim(I( u ))=0

Exercices sur les isométries vectorielles.
Solutions des exercices sur les Isométries.