Fractions rationnelles

Cours de mathématiques bien présentés de prepa année 2009 sur sur les fractions rationnelles. Le document présente d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Une partie pratique avec des exercices est également incluse avec les solutions. Extrait : Nous avons étudié dans le chapitre précédent l’Anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K infini et de caractéristique nulle. On a vu en particulier que cet Anneau est commutatif et intègre, au sens qu’un produit ne peut y être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau.

I) GENERALITES.
A) Définitions.
1) Fraction rationnelle.
2) Représentant irréductible.
3) zéros et pôles d’une fraction rationnelle.
4) Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle F de représentant irréductible (A,B).

B) Opérations sur les fractions.
1) Définition des opérations fondamentales.
2) Corps des fractions rationnelles.
3) Plongement des polynômes dans le corps des fractions.
4) Caractérisation des zéros et pôles multiples d’une fraction.

II) DERIVATION FORMELLE.
A) Définition .
B) Règles de calcul.
C) Critère des zéros multiples.

III) DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES.
A) Partie entière.
B) Elements simples relatifs aux pôles.
C) Fractions à coefficients réels.

Fractions Rationnelles. Exercices.
SOLUTIONS.