Fonctions de deux variables

Cours de mathématiques bien présentés de prépa année 2009 sur les fonctions de deux variables. Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices. Extrait: La première vision d'un tel intervalle est souvent liée à la relation d'ordre sur R (ensemble des réels strictement compris entre les bornes a- e et a +e). Il est plus intéressant de faire intervenir la notion de distance et de considérer I comme l'ensemble des réels x tels que x - a < e. On a vu en effet que l'approche à e prés est une pratique incontournable dans les phénomènes de convergence. Cette vision permet de généraliser facilement ce concept de voisinage dans tout espace E où l'on peut mesurer les écarts entre éléments grâce à une fonction 'distance' satisfaisant aux règles suivantes, inspirées des propriétés de la distance géométrique usuelle : _ Propriété de séparation. " (x, y) Î E´E d(x, y) ³ 0 et d(x, y)=0 Û x=y. _ Propriété de symétrie. " (x, y) Î E´E d(x, y)= d(y, x). _ Inégalité triangulaire. " (x, y, z) ÎE´E´E d(x, z) £ d(x, y)+d(y, z).

I) Généralités

A) Introduction

B) Extension des définitions classiques
1) Disque ouvert
2) Partie ouverte du plan Euclidien
3) Point adhérent
4) Limite d'une fonction de deux variables
5) Continuité en un point

C) Extension des résultats classiques
1) Règles opératoires
2) Règles liées à l'ordre
3) Schémas de composition
4) Non existence de limite en un point

II) Dérivation

A) Dérivée suivant un vecteur

B) Dérivées partielles

C) Fonctions de classe C 1
1) Définition
2) Théorème
3) Dérivation et continuité
4) Différentielle en un point

D) Règles de dérivation

E) Dérivées partielles successives

Exercices sur les fonctions de deux variables.
Solutions des exercices sur les fonctions de deux variables.