Espaces affines

Cours de mathématiques bien présentés de prépa année 2009 sur les espaces affines. Le document présente tout d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Ensuite, il présente une partie pratique avec des exercices et également les solutions des exercices. Extrait: Dans l’historique de la géométrie, le point est la figure originelle. La théorie se développe autour de ce concept et des ses dérivés : droites, plans; régis par la toute première réglementation d’Euclide. Plus tard viendra le vecteur, outil servant remarquablement la Mathématique et la Physique. Nous retiendrons que pour le géomètre, le vecteur AB est l'essence de la translation de l’espace ponctuel transformant tout point M en M’ tel que (A, B, M’, M) soit un parallélogramme. Un vecteur naît donc d’un couple de points et regroupe en fait toute une classe de bipoints en situation d’équipollence ( AB =MM' ). ... Exemple d'un exercice : Soient A et B deux points distincts de l’espace affine E. On considère l’application f qui à tout point M de E associe M’ barycentre du système (A, 2) ; (B, -1) ; (M, 3). Montrer que f est une homothétie ponctuelle. Préciser son centre et son rapport.

I) Généralités

A) Introduction et Axiomatique

B) Barycentres

II) Variétés affines

A) Définitions, premières propriétés
1) Définitions
2) Propriétés premières

B) Positions relatives de variétés
1) Inclusion
2) Intersection
3) Stabilité pour le barycentre

III) Applications affines

A) Définitions et premières propriétés

B) Premiers exemples

C) Composition d’applications affines
1) Théorème de composition
2) Le groupe affine

D) Propriétés diverses
1) Image d’une variété affine
2) Conservation du barycentre
3) Existence de points fixes
4) Forme analytique

IV) Isométries affines

A) Généralités

B) Classification des isométries en dimension 1, 2, 3
1) Isométries d’une droite affine
2) Isométries d’un plan affine
3) Isométries d’un espace à trois dimensions

Exercices sur les espaces Affines.
Solutions des exercices sur les espaces affines.