Determinants

Cours de mathématiques bien présentés de prepa année 2009 sur les déterminants. Le document présente d'abord une partie cours afin d'expliquer la partie théorique. Une partie pratique avec des exercices est également incluse avec les solutions. Extrait : Le point de départ de notre étude est le suivant : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n rapporté à une base B et S=(v1,…., vn) un système de n vecteurs de E définis par leurs composantes dans la base B . On a déjà étudié des techniques de détermination du rang par des manipulations sur la matrice représentant S dans

INTRODUCTION.

I) FORMES MULTILINEAIRES ALTERNÉES.

A) Vers une généralisation.

B) Premières remarques .

C) Théorème d’existence des déterminants.
a) La multilinéarité est facile à prouver.
b) Pour l’alternance.

D) Conséquences.
1) Application à l’étude de l’indépendance d’un système.
2) Formule du changement de base. Notation quotient.
3) Inversibilité d’une matrice carrée.
4) Déterminant d’un endomorphisme.
5) Déterminant d’un produit.
6) Inversion d’un automorphisme.

II) TECHNIQUES DE CALCUL DES DÉTERMINANTS.
A) Développement suivant une colonne quelconque.
B) Développement suivant la première ligne.
C) Déterminant d’une transposée.
D) Développement suivant une ligne quelconque.
E) Déterminant d’une matrice triangulaire.
F) Déterminant d’une matrice définie par blocs.

Déterminants. Exercices.
Exercices sur les Déterminants. Solutions.